Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，現給出以下四個結論：
（1）AE=CF；
（2）△EPF是等腰直角三角形；
（3）S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC；
（4）EF=AP．當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A，B重合），上述結論中是正確的結論的概率是（　　）

• A、1個
• B、3個
• C、

  1

  4

• D、

  3

  4

Answer 1

分析：根據題意，容易證明△AEP≌△CFP，然后能推理得到選項A，B，C都是正確的，選項D不正確．從而求出正確的結論的概率．

解答：解：∵AB=AC，∠BAC=90°，點P是BC的中點，∴∠EAP=

1

2

∠BAC=45°，AP=

1

2

BC=CP．
（1）在△AEP與△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP．正確；
（2）由（1）知，△AEP≌△CFP，∴PE=PF．又∵∠EPF=90°，∴△EPF是等腰直角三角形．正確；
（3）∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE．∴S_{四邊形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△BPE=

1

2

S_△ABC．正確；
（4）不能得出EF=AP，錯誤．
故正確的結論的概率是

3

4

．
故選D．

點評：用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比；解決本題的關鍵是利用證明三角形全等的方法來得到正確結論．