Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線MN∥BC，且MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，點(diǎn)P是BC延長線上一點(diǎn)．求證：四邊形AECF是矩形．

Answer 1

分析：根據(jù)CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據(jù)等邊對(duì)等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO，再有條件AO=CO，可得到四邊形AECF為平行四邊形，再證明∠ECF=90°，可利用矩形的判定解答，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．

解答：證明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF．
∵AO=CO，EO=FO，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=

1

2

∠ACB，
同理，∠ACF=

1

2

∠ACP，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=

1

2

（∠ACB+∠ACP）=

1

2

×180°=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，解決問題的關(guān)鍵是證明EO=FO和∠ECF=90°．