Question

【題目】如圖，∠BAO=90°，AB=8，動點P在射線AO上，以PA為半徑的半圓P交射線AO于另一點C，CD∥BP交半圓P于另一點D，BE∥AO交射線PD于點E，EF⊥AO于點F，連接BD，設AP=m．

（1）求證：∠BDP=90°．

（2）若m=4，求BE的長．

（3）在點P的整個運動過程中．

①當AF=3CF時，求出所有符合條件的m的值．

②當tan∠DBE=時，直接寫出△CDP與△BDP面積比．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）的長為10；（3）m的值為或；與面積比為或．

【解析】

由知，再由知、，據此可得，證≌即可得；
易知四邊形ABEF是矩形，設，可得，證≌得，在中，由，列方程求解可得答案；
分點C在AF的左側和右側兩種情況求解：左側時由知、、，在中，由可得關于m的方程，解之可得；右側時，由知、、，利用勾股定理求解可得．作于點G，延長GD交BE于點H，由≌知，據此可得，再分點D在矩形內部和外部的情況求解可得．

如圖1，

，

，

，

、，

，

，

≌，

．

，，

，

，

，

四邊形ABEF是矩形，

設，則，

，

，

，

，

≌，

，

≌，

，

在中，，即，

解得：，

的長為10．

如圖1，當點C在AF的左側時，

，則，

，

，，

在中，由可得，

解得：負值舍去；

如圖2，當點C在AF的右側時，

，

，

，

，，

在中，由可得，

解得：負值舍去；

綜上，m的值為或；

如圖3，過點D作于點G，延長GD交BE于點H，

≌，

，

又，且，

，

當點D在矩形ABEF的內部時，

由可設、，

則，

，

則；

如圖4，當點D在矩形ABEF的外部時，

由可設、，

則，

，

則，

綜上，與面積比為或．