Question

33、附加題：有一塔形幾何體由n個正方體構成，構成方式如下圖所示：上層正方體底面的四個頂點恰好是下層正方體上底面各邊的中點、已知頂層（即最上層）正方體的棱長為a，設塔形幾何體的表面積（含最底層正方體的底面面積）為S，請完成下列問題：
（1）仿照第二行，填寫下表：

（2）根據上表猜測：當有n（n≥2）個正方體時，塔形幾何體的表面積S與n的關系為：S=

（2^n-1×10-4）a²

．

Answer 1

分析：（1）根據圖示逐層算出露出的面積加以比較即解．易得相鄰兩個正方體中，上邊一個正方體的一個面積為下邊一個正方體的一個面積的一半．
（2）首先分別求出n=1，2，3時，S的對應值，然后觀察比較，并結合圖形，找出S與n的對應關系，從而得出S與n的一般關系式．

解答：解：（1）如表：

（2）根據（1）可知n=1時，S=6a²=（2^1-1×10-4）a²；
n=2時，S=2×6a²+4a²=16a²=（2^2-1×10-4）a²；
n=3時，S=2×16a²+4a²=40a²=（2^3-1×10-4）a²；
…
故S=（2^n-1×10-4）a²．

點評：解決本題的關鍵是得到上下正方體的一個面積之間的關系．本題需注意假如上面有一層立方體，則露出的表面積為：4×正方形的面積+一半正方形的面積．