Question

有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如圖所示：上層正方體底面的四個頂點恰好是下層正方體上底面各邊的中點．已知最底層正方體的棱長為8，且該塔形幾何體的全面積（含最底層正方體的底面面積）超過639，則該塔形中正方體的個數至少是

 

個．

Answer 1

分析：設有n個正方體此正方體塔能看到表面及側面和正方體裸露在外的上表面，根據題意知這n個正方體構成首相為8公比為

2

2

的等比序列．故這n個正方體的側面又構成首相為64公比為

1

2

的等比序列．

解答：解：設有n個正方體此正方體塔能看到表面及側面和正方體裸露在外的上表面，則n個正方體側面面積之和S_n=

8×(1- 1 2n )

1- 1 2

=16×（1+

1

2n

），又知正方體裸露在上面的面積為64和最底層的面積64，故裸露在外面的表面積S_n'=64×（1+

1

2n

）+64+64=64+2^6-n+64+64=198+2^6-n，由題意知S_n'＞639．解之得n＞10．
故答案為10．

點評：本題需注意假如上面有一層立方體的話露出的表面積為：4×正方形的面積+一半正方形的面積，最底層的正方體露出的體積為：5×正方形的面積+一半正方形的面積．