Question

（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足為E．

（1）求證：BE＝DE．

（2）若四邊形ABCD的面積為9，求BE的長

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）作CF⊥BE，垂足為F，得出矩形CFED，求出∠CBF=∠A，根據(jù)AAS證△BAE≌△CBF，推出BE=CF即可；

（2）設BE=x，AE=y，則CF=ED=x，BF=y，CD=FE=x-y，四邊形ABCD的面積=△ABE面積+△BFC面積+矩形EFCD面積，求出x的值，即可得到BE的值．

試題解析：（1）作CF⊥BE，垂足為F，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠FED=∠D=∠CFE=90°，∴四邊形EFCD為矩形，∴DE=CF，∵∠FED=∠D=∠CFE=90°，∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△BAE和△CBF中，∵∠BEA=∠CFB，∠A=∠CBF，AB=BC，∴△BAE≌△CBF（AAS），∴BE=CF=DE，即BE=DE；

（2）設BE=x，AE=y，則CF=ED=x，BF=y，CD=FE=x-y，四邊形ABCD的面積=△ABE面積+△BFC面積+矩形EFCD面積，∴，∴，∴BE=3．

考點：1．全等三角形的判定與性質；2．矩形的判定與性質．