Question

如圖：把一張給定大小的矩形卡片ABCD放在間距為10mm的橫格紙中（所有橫線互相平行），恰好四個頂點都在橫格線上，AD與l₂交于點E，BD與l₄交于點F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）已知α=25°，求矩形卡片的周長．（可用計算器求值，答案精確到1mm，參考數據：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知條件首先證明四邊形BFDE是平行四邊形，利用全等的性質得到BE=FD，再根據“Hl”即可證明△ABE≌△CDF；
（2）作AF⊥l₄于F，交l₂于E．在Rt△ABE中根據三角函數即可求得AB的長；在直角△AFD中，根據三角函數即可求得AD的長，從而求得長方形卡片的周長．
解答：（1）證明：∵l₂∥l₄ BC∥AD，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴BE=FD，
∵AB=CD，∠BAE=∠FCD=90゜
∴△ABE≌△CDF（HL）；

（2）過A作AG⊥l₄，交l₂于H，
∵α=25°，
∴∠ABE=25°
∴sin∠ABE=≈0.42，
解得：AB≈47.62，
∵∠ABE+∠AEB=90゜∠HAE+∠AEB=90゜，
∴∠HAE=25゜
∴cos∠DAG=≈0.91，
解得：AD≈43.96，
∴矩形卡片ABCD的周長為（47.62+43.96）×2≈183（mm）．
點評：本題考查了矩形對邊相等的性質，全等三角形的判定，直角三角形中三角函數的應用，銳角三角函數值的計算．通過作輔助線構造直角三角形是解決本題的關鍵．