Question

把一個正三角形分成四個全等的三角形，第一次挖去中間的一個小三角形，對剩下的三個小正三角形再重復以上做法…，一直到第8次挖去后這個三角形共被分割成

9841

個三角形（包括挖去的和剩下的）

Answer 1

分析：本題可依次解出n=1，2，3，…，挖去的三角形及剩下的三角形的個數，再根據規律以此類推，將挖去的三角形及剩下的三角形的個數相加，即可得出第8次挖去后這個三角形共被分割成的三角形的個數．

解答：解：∵n=1時，挖去的三角形有1個，剩下的三角形有3個，即3¹個，一共被分割成1+3¹個三角形；
n=2時，挖去的三角形有4個，即1+3¹個，剩下的三角形有9個，即3²個，一共被分割成1+3¹+3²個三角形；
n=3時，挖去的三角形有13個，即1+3¹+3²個，剩下的三角形有27個，即3³個，一共被分割成1+3¹+3²+3³個三角形；
…；
∴n=8時，挖去的三角形有1+3¹+3²+3³+…+3⁷個，剩下的三角形有3⁸個，則一共有1+3¹+3²+3³+…+3⁷+3⁸=9841個．
故答案為9841．

點評：本題是對圖形變化的考查，觀察出后一個圖形剩下的三角形是前一個圖形剩下的三角形的3倍及后一個圖形挖去的三角形是前一個圖形被分割成的三角形的個數，是解題的關鍵．