Question

在某段限速公路BC上，交通管理部門規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過60千米/小時，并在另外一條高等級公路l的收費站A處設(shè)置了一個監(jiān)測點．已知兩條公路互相垂直，且在測速點A測得A到BC的距離為100米，兩條公路的交點O位于A的南偏西32°方向上，點B位于A的南偏西77°方向上，點C位于A的南偏東28°方向上．（注：本題中，兩條公路均視為直線．）
（1）一輛汽車從點B勻速行駛到點C所用的時間是15秒，通過計算，判斷該汽車在這段限速路上是否超速？
（2）若一輛大貨車在限速路上由B處向C行駛，一輛小汽車在高等級公路l上由A處沿AO方向行駛，設(shè)兩車同時開出且小汽車的速度是大貨車速度的2倍，求兩車在勻速行駛過程中的最近距離．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析：（1）判斷是否超速就是求BC的長，然后比較；
（2）求兩車在勻速行駛過程中的最近距離可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，或轉(zhuǎn)化為利用配方法求最值的問題．

解答：解：（1）由題意知∠BAO=77°-32°=45°，∠CAO=32°+28°=60°，
在Rt△AOB中，OB=OA=100米，在Rt△AOC中，OC=

3

OA=100

3

米，
∴BC=（100+100

3

）米，
實際速度v=

(100+100 3 )米

15秒

≈18.2米/秒=65.52千米/小時＞60千米/小時，
∴該汽車在這段限速路上超速．

（2）∵兩車同時開出且小汽車的速度是大貨車速度的2倍，
∴當(dāng)大貨車由B開出x米時，小汽車由A開出了2x米，
兩車之間的距離S=

(100-x)2+(100-2x)2

=

5x2-600x+20000

=

5(x-60)2+2000

∴當(dāng)x=60時，S取得最小值，為20

5

米．

點評：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，屬于實際應(yīng)用類題目，解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．