Question

如圖，圓G過坐標原點，交y軸于點A，交x軸于點B，點C為圓上一點，且OC平分∠AOB交AB于點F．CE⊥y軸于E交AB于點H，連接EG
（1）求證：△CBF∽△COB；
（2）請探究OE、AE和EG這三條線段之間的數量關系，寫出你的結論并證明；
（3）若AH=6，HF=10，求OF的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）由OC平分∠AOB，可求得=，∠AOC=∠COB=45°，又由圓周角定理，可得∠CBF=∠COB=45°，則可證得：△CBF∽△COB；
（2）首先在CE上截取CQ=AE，連接GC、GQ，EG，可證得△EAG≌△QCG，則可得△EGQ是等腰直角三角形，繼而可得OE-AE=EG；
（3）易證得△FCH∽△FAC，然后設GH=x，可得GC=GA=6+x，GF=FH-GH=10-x，然后由在Rt△FGC中，CF²=GF²+GC²，可得方程，解此方程即可求得GH的長，繼而求得FB的長，則可求得答案．
解答：（1）證明：∵OC平分∠AOB，
∴=，∠AOC=∠COB=45°，
∴∠CBF=∠COB=45°，
∵∠OBC=∠BCF（公共角），
∴△CBF∽△COB；


（2）OE-AE=EG．
證明：在CE上截取CQ=AE，連接GC、GQ，EG．
∵=，
∴CG⊥AB，
∴∠GCQ=90°-∠GHC，
∵CE⊥y軸，
∴∠GAE=90°-∠AHE，
∵∠AHE=∠GHC，
∴∠GAE=∠GCQ，
在△EAG和△QCG中，
，
∴△EAG≌△QCG（SAS），
∴EG=GQ，∠AGE=∠CGQ，
∴∠EGQ=∠AGE+∠AGQ=∠AGQ+∠CGQ=90°，
∴EG⊥GQ，
∴△EGQ是等腰直角三角形，
∴EQ=EG，
又∵△OEC是等腰直角三角形，
∴OE=CE，
∵AE=QC，
∴OE-AE=CE-CQ=EQ=EG；
∴OE-AE=EG；

（3）∵∠BAC=∠COB=45°，△OEC是等腰直角三角形，
∴∠CAF=∠FCH=45°，
∵∠AFC=∠CFH（公共角），
∴△FCH∽△FAC，
∴FC²=FH•FA，
∵AH=6，HF=10，
∴FA=AH+FH=16，
∴FC=4，
設GH=x，GC=GA=6+x，
∴GF=FH-GH=10-x，
在Rt△FGC中，CF²=GF²+GC²，
∴（4）²=（10-x）²+（6+x）²，
解得：x=6，
∴FG=4，GA=12，FB=BG-GF=GA-GF=12-4=8，
∵OF•FC=FA•FB，
∴OF===．
點評：此題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理以及相交弦定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．