Question

如圖，已知拋物線的頂點坐標為M（1，4），且經過點N（2，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C。
（1）求拋物線的解析式及點A、B、C的坐標；
（2）若直線y=kx+t經過C、M兩點，且與x軸交于點D，探索并判斷四邊形CDAN是怎樣的四邊形？并對你得到的結論予以證明；
（3）直線y=mx+2與拋物線交于T，Q兩點，是否存在這樣的實數m，使以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標原點，若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）由拋物線的頂點是M（1，4），設解析式為
又拋物線經過點N（2，3），所以， 解得a=-1
所以所求拋物線的解析式為y=
令y=0，得
解得：
得A（-1，0） B（3，0） ；
令x=0，得y=3，所以 C（0，3）. 
（2）四邊形CDAN是平行四邊形，理由如下：
直線y=kx+t經過C、M兩點，所以即k=1，t=3
直線解析式為y=x+3. 
令y=0，得x=-3，故D（-3，0） CD=
連接AN，過N做x軸的垂線，垂足為F.
過A、N兩點的直線的解析式為y=mx+n，
則解得m=1，n=1
所以過A、N兩點的直線的解析式為y=x+1
所以DC∥AN.
在Rt△ANF中，AN=3，NF=3，
所以AN= ，所以DC=AN。
因此四邊形CDAN是平行四邊形. 
（3）假設存在這樣的實數m，使以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標原點，
設 T（x₁，y₁） Q（x₂，y₂）
則由TO²+QO²=TQ² 得： x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²
化簡得：x₁ x₂+ y₁ y₂ =0 ……①
又由y=-x²+2x+3 和y=mx+2
消去y得：x² +(m-2)x-1=0
此時△=（m-2）²+4﹥0 恒成立，
∴x₁ + x₂ =2-m ，x₁ x₂ =-1. ……②
于是 y₁ y₂ =（m x₁ +2）(m x₂ +2)
=m² x₁ x₂ +2m(x₁ + x₂)+4
=-3 m² +4m+4 ……③
將②③代入①得： -1-3 m² +4m+4=0 ，3 m²-4m-4=0
∴ m==
故存在實數m= 使以線段TQ為直徑的圓過坐標原點