Question

如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．
（1）求證：△ODM∽△MCN；
（2）設DM=x，求OA的長（用含x的代數式表示）；
（3）在點O的運動過程中，設△CMN的周長為P，試用含x的代數式表示P，你能發現怎樣的結論？

Answer 1

（1）證明：∵MN切⊙O于點M，
∴∠OMN=90°；
∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；
∴∠OMD=∠MNC；
又∵∠D=∠C=90°；
∴△ODM∽△MCN，

（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，設OA=OM=R；
∴OD=AD-OA=8-R，
由勾股定理得：（8-R）²+x²=R²，
∴64-16R+R²+x²=R²，
∴；

（3）解法一：∵CM=CD-DM=8-x，
又∵，
且有△ODM∽△MCN，
∴，
∴代入得到；
同理，
∴代入得到；
∴△CMN的周長為P==（8-x）+（x+8）=16．
發現：在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．
解法二：在Rt△ODM中，，
設△ODM的周長P′=；
而△MCN∽△ODM，且相似比；
∵，
∴△MCN的周長為P=．
發現：在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．
分析：（1）依題意可得∠OMC=∠MNC，然后可證得△ODM∽△MCN．
（2）設DM=x，OA=OM=R，OD=AD-OA=8-R，根據勾股定理求出OA的值．
（3）由1可求證△ODM∽△MCN，利用線段比求出CN，MN的值．然后可求出△CMN的周長等于CM+CN+MN，把各個線段消去代入可求出周長．
點評：本題考查的是相似三角形的判定，正方形的判定，勾股定理、切線性質和二次函數的綜合運用等有關知識．