Question

如圖所示，已知O為正三角形ABC的高AD、BE、CF的交點，P是△ABC所在平面上的任一點，作PL⊥AD于L，PM⊥BE于M，PN⊥CF于N．試證：PL、PM、PN中較大的一條線段等于其它兩條線段的和．

Answer 1

解：∵PL⊥AD，PN⊥CF知P、L、O、N、四點共圓．
同理P、L、N、M四點共圓，
∴P、L、O、N、M五點共圓．
∵O既是正△ABC的垂心，又是△ABC的內心，
∴∠AOE=∠COE=60°，
再由共圓的條件得到∠MNL=∠LOM=60°，∠MLN=∠MON=60°．
∴∠MNL=∠MLN=60°，
∴△LNM是等邊三角形，
∵點P是劣弧LM上一點，
∴PN=PL+PM．
分析：因為題設中有正三角形和垂直的條件，由PL⊥AD，PN⊥CF知P、L、O、N、四點共圓，同理P、L、N、M四點共圓，因此P、L、O、N、M五點共圓，再求出△LMN為正三角形即可得出結論．
點評：本題考查的是四點共圓的條件及等邊三角形的性質，此題綜合性較強，難度較大．