Question

觀察一下幾個式子：
3²-1²=8；
5²-3²=16=2×8；
7²-5²=24=3×8；
9²-7²=32=4×8．
（1）請用文字敘述上述式子所蘊含的規律．
（2）請用字母表示上述式子所蘊含的規律．
（3）請證明你所得到的規律．

Answer 1

解：（1）兩個連續奇數的平方差是8的整數倍；

（2）由（1）可得出：（2n+1）²-（2n-1）²=8n；

（2）∵（2n+1）²-（2n-1）²=4n²+4n+1-4n²+4n-1=8n
∴（2n+1）²-（2n-1）²=8n成立．
分析：（1）根據已知數據得出變化規律即可；
（2）從式子的左邊分析，2個連續奇數的平方，大奇數的平方減去小的平方；從等式右邊知道變化數n是自然數，8是不變數；
（3）利用完全平方公式計算求出即可．
點評：此題主要考查了數字變化規律，從變化的數字n中得到通式8n，本題的難點在于等式左邊的式子的歸納即：（2n+1）²-（2n-1）²．