Question

已知直線y=-x+2分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一個動點P由原點O向點A運動（與點A不重合），速度為每秒1個單位，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，以點C為頂點的拋物線y=-4（x+m）²+n與直線AB的另一交點為D，與x軸交于點E（點E在拋物線對稱軸的右側）．設點P運動時間為t秒．
（1）直接寫出點A的坐標，并求t=1時拋物線的解析式；
（2）當t為何值時，以C，P，E為頂點的三角形與AOB相似？
（3）①求CD的長；
     ②設△COD的OC邊長的高為h，當t為何值時，h的值最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，求出x的值即可得到點A的坐標，求出t=1時的x、y的值，得到點C的坐標，然后代入拋物線解析式即可得解；
（2）根據直線的解析式求出點B的坐標，然后求出OA、OB的長，再求出OP的長，然后根據直線解析式求出PC的長，從而得到點C的坐標，然后表示出拋物線解析式，再分①PE與OA是對應邊時，點E、A重合，然后把點A的坐標代入拋物線求解即可得到t的值；②PE與OB是對應邊時，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求出PE的長，然后得到點E的坐標，再把點E的坐標代入拋物線解析式求解即可得到t的值；
（3）①聯立拋物線與直線解析式求出點D的橫坐標，再過點D作DH⊥PC于H，從而求出DH的長，再根據△DCH和△ABO相似，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可得到CD的長；
②過點O作OF⊥AB于F，過點F作FG⊥x軸于點G，根據勾股定理列式求出AB，再根據△AOB的面積求出OF的長，然后根據CD的長度不變，是定值可知OC的長度最小時，OC邊上的高h最大，此時OF、OC重合，然后根據△OFG和△BAO相似，再根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可．
解答：解：（1）令y=0，則-x+2=0，解得x=4，
所以，點A（4，0），
∵點P的運動速度是每秒1個單位，
∴t=1時，x=1，y=-+2=，
∴點C的坐標為（1，），
∴拋物線解析式為y=-4（x-1）²+；

（2）令x=0，則y=2，
所以，點B的坐標為（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵OP=t，
∴PC=-t+2，
∴C（t，-t+2），
∴y=-4（x-t）²-t+2，
①PE與OA是對應邊時，此時點E與點A重合，
∴-4（4-t）²-t+2=0，
整理得，（t-4）（4t-16+）=0，
解得t₁=4（為點C，舍去），t₂=，
②PE與OB是對應邊時，∵△PCE∽△OAB，
∴=，
即=，
解得PE=-t+1，
∴OE=t-t+1=t+1，點E的坐標為（t+1，0），
∵點E在拋物線上，
∴-4（t+1-t）²-t+2=0，
整理得，（t-4）（t-2）=0，
解得t₁=4（為點C，舍去），t₂=2，
綜上所述，當t=2或t=時，以C，P，E為頂點的三角形與AOB相似；

（3）①聯立消掉y得，-4（x-t）²-t+2=-x+2，
整理得，（x-t）（-4x+4t+）=0，
解得x₁=t，x₂=t+，
則點D的橫坐標為t+，過點D作DH⊥PC于H，則DH=，
∵PC⊥x軸，DH⊥PC，
∴△DCH∽△ABO，
∴=，
∵OA=4，OB=2，
∴AB===2，
∴=，
解得CD=；
②過點O作OF⊥AB于F，過點F作FG⊥x軸于點G，
∵不論點P在何處，CD的長不變，
∴△ODC的面積也不變，
當OC長最小時，OC邊上的高h最大，
∵S_△AOB=×2•OF=×2×4，
∴OC=OF=，
∵△OFG∽△BAO，
∴=，
即=，
解得OG=，
即t=時，h的值最大．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了直線與坐標軸的交點的求解，相似三角形對應邊成比例的性質，勾股定理，利用等積法求三角形的高，綜合性較強，難度較大，（2）要分情況討論，（3）作輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．