Question

如圖，△ABC中，點P是AC邊上一個動點，過P作直線EF∥BC，交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角∠ACD平分線于點F．

（1）請說明：PE=PF；
（2）當點P在AC邊上運動到何處時，四邊形AECF是矩形？為什么？
（3）在（2）的條件下，△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？為什么？
（4）當點P在邊AC上運動時，四邊形AECF可能是菱形嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先證明∠E=∠2根據等角對等邊可得EP=PC，同理可得PF=PC，進而得到EP=PF；
（2）當點P在AC中點時，四邊形AECF是矩形，首先根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形AECF是平行四邊形，再證明∠ECF=90°即可；
（3）利用已知得出AC⊥EF，結合正方形的判定得出即可；
（4）利用菱形的判定得出即可．

解答：解：（1）∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
∵EF∥BC，
∴∠E=∠1，
∴∠E=∠2，
∴EP=PC，
同理PF=PC，
∴EP=PF；

（2）當點P在AC中點時，四邊形AECF是矩形，
∵PA=PC，PE=PF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵∠ECF=

1

2

∠BCD=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形；

（3）當∠ACB=90°時，四邊形AECF是正方形，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AC⊥EF，
∴平行四邊形AECF是正方形；

（4）四邊形AECF不可能是菱形，
∵∠ECF=90°，
∴EF＞CF，
∴四邊形AECF不可能是菱形．

點評：此題主要考查了矩形的判定和正方形的判定以及菱形的判定等知識，熟練利用它們之間的區別和聯系得出是解題關鍵．