Question

如圖，正方形OA₁B₁C₁的邊長為1，以O為圓心、OA₁為半徑作扇形OA₁C₁，與OB₁相交于點B₂，設正方形OA₁B₁C₁與扇形OA₁C₁之間的陰影部分的面積為S₁；然后以OB₂為對角線作正方形OA₂B₂C₂，又以O為圓心，OA₂為半徑作扇形OA₂C₂，與OB₁相交于點B₃，設正方形OA₂B₂C₂與扇形OA₂C₂之間的陰影部分面積為S₂；按此規律繼續作下去，設正方形OA_nB_nC_n與扇形OA_nC_n之間的陰影部分面積為S_n．
（1）求S₁，S₂，S₃；
（2）寫出S₂₀₀₈；
（3）試猜想S_n（用含n的代數式表示，n為正整數）．

Answer 1

【答案】分析：根據陰影部分的面積是正方形的面積減去所對應的扇形的面積可求解，所以可分別計算出S₁=1-π，S₂=-，S₃=-；那么S_n=-（n為正整數）．可據此求出當n=2008時，S的值．
解答：解：
（1）；
由勾股定理得：OA₂²+A₂B₂²=OB₂²=1²，
∴OA₂=，
；
；

（2）S₂₀₀₈=-；

（3）S_n=-（n為正整數）．
點評：主要考查了正方形的性質和扇形的面積公式．本題要先從簡單的例子入手得出一般化的結論，然后根據得出的規律去求特定的值．