Question

如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分別為垂足．

（1）已知：∠APC=90°，求證：△ABP∽△PDC．
（2）已知：AB=2，CD=3，BD=7，點(diǎn)P是線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，若使點(diǎn)P分別與A、B和C、D構(gòu)成的兩個(gè)三角形相似，求線段PB的值．
（3）已知：AB=2，CD=3，點(diǎn)P是直線BD上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PB=x，BD=y，使點(diǎn)P分別與A、B和C、D構(gòu)成的兩個(gè)三角形相似，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）由于AB⊥BD，CD⊥BD，可知∠B與∠D為直角，又∠APC=90°，則∠APB+∠CPD=90°，可以得出∠A=∠CPD，從而證出△ABP∽△PDC．
（2）設(shè)PB=x，則PD為（7-x），然后分兩種情況討論：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．據(jù)此，即可利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，從而求出線段PB的值．
（3）分兩種情況討論：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．據(jù)此，即可利用相似三角形的性質(zhì)列出含x、y的比例式，從而求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

解答：解：（1）證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°①，
∴∠A+∠APB=90°，
又∵∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD②，
∴由①②，△ABP∽△PDC．

（2）設(shè)PB=x，則PD為（7-x），
①△ABP∽△PDC時(shí)，

AB

PD

=

BP

CD

，
即

2

7-x

=

x

3

，
解得，（x-1）（x-6）=0，
x=1或x=6，
②△ABP∽△CDP．

AB

CD

=

BP

PD

，
即

2

3

=

x

7-x

，
解得x=

14

5

．
綜上所述，PB=1，或PB=6，或PB=

14

5

．

（3）①△ABP∽△PDC時(shí)，

AB

PD

=

BP

CD

，
即

2

y-x

=

x

3

，
整理得，y=x+

6

x

；
②△ABP∽△CDP．

AB

CD

=

BP

PD

，

2

3

=

x

y-x

整理得，y=

5

2

x．
③△ABP∽△PDC時(shí)，

AB

PD

=

BP

CD

，
∵PD=PB-BD=x-y，

2

x-y

=

x

3

，
y=x-

6

x

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三道題步步深入，前一道題為后面的題提供思路，要注意這一點(diǎn)，同時(shí)題目也體現(xiàn)了分類討論思想的重要作用．