Question

（2005•荊門）已知：關于x的方程x²-（k+1）x+k²+1=0的兩根是一個矩形兩鄰邊的長．
（1）k取何值時，方程有兩個實數根；
（2）當矩形的對角線長為時，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一元二次方程根的判別式，方程有兩個實數根，則判別式△≥0，得出關于k的不等式，求出k的取值范圍．
（2）根據勾股定理和根與系數的關系得出關于k的方程，求出k的值并檢驗．
解答：解：（1）設方程的兩根為x₁，x₂
則△=[-（k+1）]²-4（k²+1）=2k-3，
∵方程有兩個實數根，∴△≥0，
即2k-3≥0，
∴k≥
∴當k≥，方程有兩個實數根．

（2）由題意得：，
又∵x₁²+x₂²=5，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
（k+1）²-2（k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值為2．
點評：解決本題的關鍵是利用一元二次方程根與系數的關系和勾股定理，把問題轉化為解方程求得k的值．