Question

已知二次方程x²+x-1=0的兩根為α、β，求2α⁵+β³的值．

Answer 1

分析：首先利用二次方程x²+x-1=0的兩根為α、β對代數式進行化簡，然后再根據根與系數的關系進行求解得到結果．

解答：解：∵二次方程x²+x-1=0的兩根為α、β，
∴α²+α-1=0，β²+β-1=0，
則α⁵=α•α²•α²=α•（1-α）（1-α）=（2α-1）（1-α）=5α-3
β³=β•β²=β（1-β）=β-β²=β-（1-β）=2β-1
∴2α⁵+β³=2（5α-3）+2β-1=10α+2β-7，
根據根與系數的關系有α+β=-1，
則β=-1-α，
所以原式=10α+2（-1-α）-7=8α-9
解方程可知：α=

-1± 5

2

，
所以原式=-13±4

5

．
即2α⁵+β³的值為-13±4

5

．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．