Question

（2010•資陽）如圖甲，已知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點B，直線m垂直AB于點C，交⊙O于P、Q兩點．連接AP，過O作OD∥AP交l于點D，連接AD與m交于點M．
（1）如圖乙，當直線m過點O時，求證：M是PO的中點；
（2）如圖甲，當直線m不過點O時，M是否仍為PC的中點？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）連接PD，由已知條件證明四邊形APDO是平行四邊形即可證明M是PO的中點；
（2）M仍為PC的中點，通過證明△APC∽△ODB和△ACM∽△ABD，得到有關的比例式，再證明PC=2MC．

解答：證明：（1）連接PD，
∵AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點B，直線m垂直AB于點C，
∴∠POA=∠DBA=90°，
∵OD∥AP，
∴∠PAO=∠DOB，
又∵AO=BO，
∴△APO≌△ODB，
∴AP=OD，
∴四邊形APDO是平行四邊形，
∴M是PO中點；

（2）M仍為PC的中點，理由如下：
∵AP∥OD，
∴∠PAO=∠DOB，又∠PCA=∠DBO=90°，
∴△APC∽△ODB，
∴

PC

BD

=

AC

BO

①，
又易證△ACM∽△ABD，
∴

AC

AB

=

MC

BD

，
∵AB=2OB，
∴

AC

2OB

=

MC

BD

，
∴

AC

OB

=

2MC

BD

②，
由①②得，

PC

BD

=

2MC

BD

，
∴即PC=2MC．
M仍為PC的中點．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質相似三角形的判定和性質以及利用比例式證明線段相等，題目的難度不小．