Question

【題目】如圖，現將平行四邊形ABCD沿其對角線AC折疊，使點B落在點B′處．AB′與CD交于點E．

（1）求證：△AED≌△CEB′；

（2）過點E作EF⊥AC交AB于點F，連接CF，判斷四邊形AECF的形狀并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）由題意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS證明全等，則結論可得；
（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根據等腰三角形的性質可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，則可證四邊形AECF是菱形．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D

∵平行四邊形ABCD沿其對角線AC折疊

∴BC＝B'C，∠B＝∠B'

∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC

∴△ADE≌△B'EC

（2）四邊形AECF是菱形

∵△ADE≌△B'EC

∴AE＝CE

∵AE＝CE，EF⊥AC

∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF

∴AF＝CF

∵CD∥AB

∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF

∴∠AEF＝∠EFA

∴AF＝AE

∴AF＝AE＝CE＝CF

∴四邊形AECF是菱形