Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，P是邊AB（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．過(guò)P作BC的垂線PR，R為垂足，∠PRB的平分線與AB相交于點(diǎn)S，在線段RS上存在一點(diǎn)T，若以線段PT為一邊作正方形PTEF，其頂點(diǎn)E，F(xiàn)恰好分別在邊BC，AC上．
（1）請(qǐng)判斷BS與PS的長(zhǎng)度之間的關(guān)系；
（2）請(qǐng)你探索線段TS與PA的長(zhǎng)度之間的關(guān)系，并證明；
（3）設(shè)AB=1，當(dāng)P在邊AB（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)你探索正方形PTEF的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由等腰直角三角形ABC的兩個(gè)底角相等知∠B=∠C=45°；然后由垂直的定義、三角形內(nèi)角和推知∠BPR=45°，所以根據(jù)等角對(duì)等邊可以證明△BRP是等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證得RS是PB的垂直平分線；
（2）根據(jù)全等直角三角形的判定定理AAS證得△FPA≌△PTS；然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可推知TS=PA；
（3）要求正方形FPTE的面積，那么就要求出它的邊長(zhǎng)．RS是等腰直角△PRS的高，那么BS=PS，PS=

1-PA

2

，由（2）證得的全等三角形中我們可得出PS=AF，如果設(shè)PA=x，正方形PTEF的面積為y，我們就能用x表示出AF的值，直角三角形APF中，我們就能用x表示出PF²，也就得出了y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后確定x的取值范圍，x最小時(shí)x=PA=0此時(shí)P與A重合，S與T重合，E與R重合．x最大時(shí)，T與R重合，此時(shí)TS=BS=SP=PA，因此PA=

1

3

，那么x的范圍就是0≤x≤

1

3

，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的范圍求出y的最小值．

解答：解：（1）BS=BS；理由如下：
∵在Rt△ABC中，AB=AC（已知），
∴∠B=∠C=45°（三角形內(nèi)角和定理）；
又∵PR⊥BC（已知），
∴∠SPR=45°（三角形內(nèi)角和定理），
∴∠B=∠BPR（等量代換），
∴BR=PR（等角對(duì)等邊）；
∵RS是∠PRB的平分線（已知），
∴RS是PB的中垂線（等腰三角形的性質(zhì)），
∴BS=BS；

（2）PA=TS；證明如下：
由（1）知，RS⊥平板，
∴∠STP+∠SPT=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）；
又∵四邊形PTEF是正方形，
∴∠FPT=90°（正方形的四個(gè)內(nèi)角都是直角），
∴∠APF+∠SPT=90°（平角的定義），
∴∠APF=∠STP（等量代換）；
∴在Rt△FPA和Rt△PTS中，

∠FAP=∠PST=90° ∠APF=∠STP PF=TP(正方形的邊長(zhǎng))

，
∴Rt△FPA≌Rt△PTS，
∴PA=TS；（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；

（3）∵由（1）知，RS是等腰Rt△PRB的底邊PB上的高，
∴PS=BS，
∴BS+PS+PA=1，
∴PS=

1-PA

2

．
設(shè)PA的長(zhǎng)為x，正方形PTEF的面積為y，易知AF=PS，
則y=PF²=PA²+PS²，得y=x²+(

1-x

2

)2，
即y=

5

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x=

1

5

時(shí)，y有最小值為

1

5

．
如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)使得T與R重合時(shí)，PA=TS為最大．
易證等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA=

1

3

．
如圖3，當(dāng)P與A重合時(shí)，得x=0．
∴x的取值范圍是0≤x≤

1

3

．
∴①當(dāng)x的值由0增大到

1

5

時(shí)，y的值由

1

4

減小到

1

5

；
②當(dāng)x的值由

1

5

增大到

1

3

時(shí)，y的值由

1

5

增大到

2

9

．
∵

1

5

≤

2

9

≤

1

4

，
∴在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，正方形PTEF面積y的最小值是

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．解答（3）題時(shí)，注意求出二次函數(shù)后，要先討論出x的取值范圍，然后再根據(jù)自變量的范圍求y的值．