Question

在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，
（1）如圖1，D、E、F為切點，求△ABC內切圓⊙O的半徑r₁的值．
（2）如圖2△ABC中放置兩個互相外切的等圓⊙O₁、⊙O₂，⊙O₁與AC、AB相切，⊙O₂與BC、AB相切，求它們的半徑r₂時，小李同學是這樣思考的：如果將⊙O₂連同BC邊向左平移2r₂，使⊙O₂與⊙O₁重合、BC移到DE，則問題轉化為第（1）問中的情況，于是可用同樣的方法算出r₂，你認為小李同學的想法對嗎？請你求出r₂的值（不限于上述小李同學的方法）．
（3）如圖3，n個排成一排的等圓與AB邊都相切，又依次外切，前后兩圓分別與AC、BC邊相切，求這些等圓的半徑rn．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的內切圓的半徑的性質即可求解；
（2）（3）分別求出三角形的三邊的長，根據三角形的內切圓的半徑的性質即可求解．

解答：
解：（1）連OE、OF，則OE=OF=r₁
AD=AF，BD=BE，CE=CF，∠C=90°
∴四邊形OECF是正方形，CE=CF=r₁
∴r₁=

1

2

（AC+BC-AB）=1

（2）平移后得到與△ABC相似的Rt△ADE三邊長分別為
S-2r₁，

4

5

（5-2r₂），

3

5

（5-2r₂）．
則r₂=

1

2

【

4

5

（5-2r₂）+

3

5

（5-2r₁）-（5-2r₂）=

1

5

（5-2r₂）
∴r₂=

5

7

（3）將第n個圓連同BC邊向左平移2（n-1）rn與第一個圓重合，所得直角三角形三邊長為：
5-2（n-1）r_n，

4

5

【5-2（n-1）rn】，

3

5

【5-2（n-1）】
∴r_n=

1

5

【5-2（n-1）r_n】
∴r_n=

5

5+2(n-1)

=

5

3+2n

．

點評：本題主要考查了相切兩圓的關系以及三角形的內切圓的性質，正確理解三角形的內切圓的半徑的性質即可求解是解題的關鍵．