Question

【題目】 菱形ABCD中，F是對角線AC的中點，過點A作AE⊥BC垂足為E，G為線段AB上一點，連接GF并延長交直線BC于點H．

（1）當∠CAE=30°時，且CE=，求菱形的面積；

（2）當∠BGF+∠BCF=180°，AE=BE時，求證：BF=(+1)GF．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）證明見解析．

【解析】

（1）只要證明△ABC是等邊三角形，即可解決問題；

（2）如圖，連接GC，作GM⊥GF交BF于M．證明△BGC是等腰直角三角形，再證明△BGM≌△CGF即可解決問題；

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵AE⊥BC，∠EAC=30°，

∴∠ACE=60°，AC=2EC=2，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∴S菱形ABCD=2S△ABC=2××(2)2=6．

（2）如圖，連接GC，作GM⊥GF交BF于M．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BA=BC，∵AF=FC，

∴BF⊥AC，

∴∠BFA=90°，

∵∠BGF+∠BCF=180°，∠AGF+∠BGF=180°，

∴∠AGF=∠ACB，∵∠GAF=∠CAB

∴△AGF∽△ACB，

∴=，

∴=，∵∠CAG=∠BAF，

∴△CAG∽△BAF，

∴∠CGA=∠BFA=90°，

∵AE⊥BE，AE=BE，

∴∠ABE=45°，

∴∠GBC=∠GCB=45°，

∴GB=GC，

∵∠BGC=∠MGF，

∴∠BGM=∠CGF，

∵∠GBM=∠GCF，

∴△BGM≌△CGF，

∴BM=CF，GM=GF，FM=GF，

∵∠AGC=90°AF=FC，

∴GF=FC=BM，

∴BF=BM+FM=GF+GF=(+1)GF．