Question

如圖，在這兩個圖形中，△ABC都是等邊三角形，點D與點P在兩個圖形中的位置顯然不同，但是每個圖中的點D都在AB的中垂線上，且都有BP=BC，∠DBC=∠DBP．
（1）能否僅用眼睛觀察，估計兩個圖中∠P的度數是否相等，以及它們的度數大約是多少？
（2）用量角器度量兩圖中∠P的度數．
（3）請再畫一個圖形，除點D，P的位置外，其他都與所給的圖形一致，并度量所畫圖形中∠P的度數．

Answer 1

解：（1）兩個圖中∠P的度數是相等，它們的度數大約是30°．理由如下：
如圖1，連接AD．
∵△ABC為等邊三角形
∴BC=AC，∠BCA=60°，
∵點D在AB的垂直平分線上，
∴BD=AD．
在△BCD與△ACD中，
，
∴△BCD≌△ACD（SSS），
∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°．
在△BDP與△BDC中，
，
∴△BDP≌△BDC（SAS）
∴∠P=∠BCD=∠ACB=30°．
同理，如圖2，∠P=∠ACB=30°；

（2）使用量角器量得，兩圖中∠P的度數都是30°；

（3）如圖3，點D在AB的垂直平分線上，BD是∠PBC的平分線．測得∠BPD=150°．
分析：（1）根據等邊三角形的性質先由SSS判定△BCD≌△ACD，從而得到∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°，再利用SAS判定△BDP≌△BDC，從而得到∠P=∠BCD=30°；
（2）根據量角器的使用方法量出每一個角的度數，根據角的度數即可比較大小；
（3）點P可以在BC的下面，如圖3所示．經測量所畫圖形中∠P的度數是150°．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，線段垂直平分線的性質．
①垂直平分線垂直且平分其所在線段；
②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．