Question

（2002•海淀區）如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于點E，過點E作直線與AF垂直交AF延長線于D點，且交AB延長線于C點．
（1）求證：CD與⊙O相切于點E；
（2）若CE•DE=，AD=3，求⊙O的直徑及∠AED的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題可知，E已經是圓上一點，欲證CD為切線，只需證明∠OED=90°即可．
（2）欲求圓的直徑，必須求出半徑OA或OB或OE，可以把題中所求部分抽象到相似三角形中來考慮，借助于比例線段來求解．∠AED的正切值則必須求出AD以及ED的值．
解答：（1）證明：連接OE，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE=∠EAD．
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE．
∴∠OEA=∠EAD．
∴OE∥AD．
∵∠OED=∠ADC=90°且E在⊙O上，
∴CD與⊙O相切于點E．

（2）解：連接BE、EF，
∵AB為直徑，
∴RT△BAE∽RT△EAD．
∴①
∵CD與⊙O相切于點E，
∴∠CEB=∠OAE．
∵∠C為公共角，
∴△CBE∽△CEA．
∴②
由①②得
，
∴DE•EC=AD•CB．
∵CE•DE=，AD=3，
∴．
由（1）知OE∥AD
∴．
設OE=x（x＞0），
則CO=，CA=，
∴．
∴x=-1（舍去）或x=．
∴⊙O直徑為．
∴CA=CB+BA=5．
由切割線定理知CE²=CB•CA=，
∴．
∴．
∴tan∠AED=．
點評：本題主要考查了切線的判定及相似三角形的判定方法等知識點的綜合運用．