Question

關于x的一元二次方程x²-6x+k=0的一個根是2．
（1）求k的值和方程的另一個根x₂；
（2）若直線AB經過點A（2，0），B（0，x₂），求直線AB的解析式；
（3）在平面直角坐標系中畫出直線AB的圖象，P是x軸上一動點，是否存在點P，使△ABP是直角三角形，若存在，求出點P坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一元二次方程的解的定義，將x=2代入原方程，列出關于k的方程，通過解方程求得k值后，再根據根與系數的關系求得方程的另一個根；
（2）利用待定系數法求一次函數的解析式；
（3）分類討論：①AB是斜邊，∠APB=90°；②AB是直角邊，點B為直角頂點，即∠ABP=90°；③設AB是直角邊，點A為直角頂點，即∠BAP=90°．
解答：解：（1）∵2是一元二次方程x²-6x+k=0的一個根，
∴2-12+k=0，
∴k=8．（2分）
∴一元二次方程為x²-6x+8=0，
∴（x-2）（x-4）=0，
∴x₁=2，x₂=4
∴一元二次方程為x²-6x+8=0的另一個根x₂=4．（4分）

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0）
∵直線AB經過點A（2，0），B（0，4）
∴
解得k=-2，b=4（6分）
直線AB的解析式：y=-2x+4．（8分）

（3）畫圖正確（9分）
第一種：AB是斜邊，∠APB=90°
∵∠AOB=90°，
∴當點P與原點O重合時，∠APB=90°，
∴當點P的坐標為（0，0），△ABP是直角三角形．（11分）
第二種：設AB是直角邊，點B為直角頂點，即∠ABP=90°
∵線段AB在第一象限，
∴這時點P在x軸負半軸．
設P的坐標為（x，0）
∵A（2，0），B（0，4）
∴OA=2，OB=4，OP=-x，
∴BP²=OP²+OB²=x²+4²，AB²=OA²+OB²=2²+4²，AP²=（OA+OP）²=（2-x）²．
∵AP²=BP²+AB²，
∴x²+4²+2²+4²=（2-x）²，
解得x=-8
∴當點P的坐標為（-8，0），△ABP是直角三角形．（13分）
第三種：設AB是直角邊，點A為直角頂點，即∠BAP=90°
∵點A在x軸上，點P是x軸上的動點，
∴∠BAP＞90°
∴∠BAP=90°的情況不存在．（14分）
∴當點P的坐標為（-8，0）或（0，0）時，△ABP是直角三角形．
點評：本題綜合考查了一元二次方程的解、待定系數法求一次函數的解析式、根與系數的關系、勾股定理的逆定理等知識點．注意：第（2）題需要分類討論．