Question

某商業公司為指導某種應季商品的生產和銷售，對三月份至七月份該商品的售價和成本進行了調研，結果如下：每件商品的售價M（元）與時間t（月）的關系可用一條線段上的點來表示（如圖1），每件商品的成本Q（元）與時間t（月）的關系可用一條拋物線的一部分上的點來表示（如圖2）。 （說明：圖1，圖2中的每個實心黑點所對應的縱坐標分別指相應月份的售價和成本．） 請你根據圖象提供的信息回答：
（1）每件商品在3月份出售時的利潤（利潤=售價﹣成本）是多少元？
（2）求圖2中表示的每件商品的成本Q（元）與時間t（月）之間的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利潤W（元）與時間t（月）之間的函數關系式嗎（請寫出計算過程，不要求寫自變量的取值范圍）？若該公司共有此種商品30000件，準備在一個月內全部售完，請你計算一下至少可獲利多少元？

Answer 1

解：
（1）每件商品在3月份出售時的利潤為5元；
（2）
∵拋物線的頂點坐標為（6，4）
∴設拋物線的解析式為Q=a（t﹣6）²+4
∵拋物線過（3，1）點
∴1=a（3﹣6）²+4解得：a=﹣
∴Q=﹣（t﹣6）²+4=﹣t²+4t﹣8，其中t=3、4、5、6、7；
（3）設每件商品的售價M（元）與時間t（月）之間的函數關系式為M=kt+b
∵線段過（3，6）、（6，8）兩點
∴3k+b=6 6k+b=8解得：k=，b=4
∴M=t+4，其中t=3、4、5、6、7，
所以每件商品的利潤W（元）與時間t（月）的函數關系式為W=M﹣Q=（t+4）﹣（﹣t²+4t﹣8）=t²﹣t+12
∴W=（t﹣5）²+，其中t=3、4、5、6、7
∴當t=5時，W的最小值為元
∴30000件商品一個月內售完，至少獲利30000×=110000元。
答：30000件商品一個月內售完，至少獲利110000元。