Question

（2002•連云港）某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園，如圖所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米．
（1）若入口E在邊AB上，且與A、B等距離，求從入口E到出口C的最短路線的長；
（2）若線段CD是一條水渠，且D點在邊AB上，已知水渠的造價為10元/米，則D點在距A點多遠處時，此水渠的造價最低，最低造價是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知：E點是AB的中點，則連接CE，CE是AB邊的中線，則根據直角三角形中中線是斜邊的一半；只要求得斜邊AB的長即可，根據勾股定理可以求得AB的長；
（2）根據從一點到一直線垂線段線段的距離最短可知：從C點向AB作垂線，則CD的造價最低；根據三角形相似可以求得CD的長，AD的長；最后可以求得水渠的造價．
解答：解：（1）過點C作CD⊥AB于D，取AB的中點為E，連接CE，
根據勾股定理可知：AB===100，
由題意可知：E點是AB的中點，
根據直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半，
則CE=AB=×100=50；

（2）由題意可知：從一點到一直線垂線段線段的距離最短，
則從C點向AB作垂線，則CD的造價最低；
∵△ACB是直角三角形，CD⊥AB，
∴△ADC∽△ACB，
則，
即=，
可解得：AD=64，CD=48；
則最低造價=10×48=480元．
（可根據三角形面積相等解答AB•CD=AC•BC）
點評：本題考查直角三角形的中線中線的性質以及勾股定理的應用．