Question

如圖，在直角坐標系中，點的坐標為，點在直線上運動，點、、分別為、、的中點，其中是大于零的常數.

（1）請判斷四邊形的形狀，并證明你的結論；

（2）試求四邊形的面積與的關系式；

（3）設直線與軸交于點，問：四邊形能不能是矩形？若能，求出的值；若不能，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）四邊形是平行四邊形.  

證明：∵、分別是、的中點

∴∥                        

同理，∥

∴四邊形是平行四邊形   

（2）解法一：    

由（1）得：∥ 

∴∽

∴   ∴

同理     

∴， 即 

解法二：連結，

=  

∵、分別是、的中點

∴        

同理                  

∴， 即

（3）解法一：以為圓心，長為直徑的圓記為⊙，

① 當直線與⊙相切或相交時，若點是交點或切點，則，

由（1）知，四邊形是矩形.           

此時0＜，＞0，可得∽

故  即  

在中，  ∴  ∴，

解得     

② 當直線與⊙相離時，，

∴四邊形不是矩形，此時＞4，

∴當＞4時，四邊形不是矩形

綜上所述：當0＜，四邊形是矩形，這時；當＞4時，四邊形不是矩形.

解法二：由（1）知：當時，四邊形是矩形，

此時∽.

∴，  即       

又，  ，

∴        

∴

① 當時，解得，這時四邊形是矩形.

② 當時，不存在，這時四邊形不是矩形. 

解法三：如圖，過點作于點,

在中，

在中，

在中，當時，，

則四邊形是矩形.

所以

化簡得：

配方得： 

【解析】（1）四邊形DEFB是平行四邊形．利用DE、EF為△OAB的中位線證明平行四邊形；

（2）根據DE、EF為△OAB的中位線可知，S△AEF=S△ODE=1/4S△AOB，利用S=S△AOB-S△AEF-S△ODE求S與b的關系式；

（3）當∠ABO=90°時，四邊形DEFB是矩形，由Rt△OCB∽Rt△ABO，根據相似比得OB²=OA•BC，由勾股定理得OB²=BC²+OC²，利用b、t分別表示線段的長，列方程求解．