Question

如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點P，Q是AC的中點．判斷直線PQ與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：連接OP、CP．先由直徑所對的圓周角是直角得到Rt△APC，根據斜邊上的中線等于斜邊的一半可知PQ=CQ，所以∠QPC=∠QCP，利用等邊對等角把角之間的數量關系與∠BCA=90°結合得到∠OPQ=90°，再根據點P在⊙O上可判斷PQ是⊙O的切線．
解答：解：直線PQ與⊙O的位置關系是：相切．
其理由如下：
①連接OP、CP．
∵BC是直徑，
∴CP⊥AB，
在Rt△APC中，Q為斜邊AC的中點；
∴PQ=CQ=AC（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），
∴∠QPC=∠QCP；
又OP=OC，
∴∠OPC=∠OCP，
又∠BCA=90°，
∴∠OPQ=90°且P在⊙O上，
∴直線PQ與⊙O的位置關系是：相切．

②用三角形全等或者角的和（差）也可證明．
點評：本題要準確的作出輔助線才能快捷準確的解題．利用直徑所對的圓周角是直角構造直角三角形是常用的方法．注意切線的判定：經過半徑的外端并與半徑垂直的直線是圓的切線．