Question

（2009•賀州）如圖，拋物線y=-x²-x+2的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA-PB≤AB；
（3）當(dāng)PA-PB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）把拋物線解析式的一般式寫成頂點(diǎn)式，可求頂點(diǎn)A坐標(biāo)，令x=0，y=2，可得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，PA-PB=AB，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，根據(jù)“三角形的兩邊之差小于第三邊”可證結(jié)論；
（3）通過分析可知，PA-PB最大時(shí)，A、B、P三點(diǎn)共線，求直線AB解析式，令y=0，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：（1）解：拋物線y=-x²-x+2與y軸的交于點(diǎn)B，
令x=0得y=2．
∴B（0，2）
∵y=-x²-x+2=-（x+2）²+3
∴A（-2，3）

（2）證明：當(dāng)點(diǎn)P是AB的延長(zhǎng)線與x軸交點(diǎn)時(shí)，
PA-PB=AB．
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上又異于AB的延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，
在點(diǎn)P、A、B構(gòu)成的三角形中，PA-PB＜AB．
綜合上述：PA-PB≤AB

（3）解：作直線AB交x軸于點(diǎn)P，由（2）可知：當(dāng)PA-PB最大時(shí)，點(diǎn)P是所求的點(diǎn)
作AH⊥OP于H．
∵BO⊥OP，
∴△BOP∽△AHP
∴
由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，
∴OP=4，
故P（4，0）．
注：求出AB所在直線解析式后再求其與x軸交點(diǎn)P（4，0）等各種方法只要正確也相應(yīng)給分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線解析式的運(yùn)用，三角形的三邊關(guān)系問題，需要形數(shù)結(jié)合，綜合考慮問題．