Question

（2009•賀州）如圖，拋物線y=-x²-x+2的頂點為A，與y軸交于點B．
（1）求點A、點B的坐標；
（2）若點P是x軸上任意一點，求證：PA-PB≤AB；
（3）當PA-PB最大時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）把拋物線解析式的一般式寫成頂點式，可求頂點A坐標，令x=0，y=2，可得B點坐標；
（2）當A、B、P三點共線時，PA-PB=AB，當三點不共線時，根據“三角形的兩邊之差小于第三邊”可證結論；
（3）通過分析可知，PA-PB最大時，A、B、P三點共線，求直線AB解析式，令y=0，可得P點坐標．
解答：（1）解：拋物線y=-x²-x+2與y軸的交于點B，
令x=0得y=2．
∴B（0，2）
∵y=-x²-x+2=-（x+2）²+3
∴A（-2，3）

（2）證明：當點P是AB的延長線與x軸交點時，
PA-PB=AB．
當點P在x軸上又異于AB的延長線與x軸的交點時，
在點P、A、B構成的三角形中，PA-PB＜AB．
綜合上述：PA-PB≤AB

（3）解：作直線AB交x軸于點P，由（2）可知：當PA-PB最大時，點P是所求的點
作AH⊥OP于H．
∵BO⊥OP，
∴△BOP∽△AHP
∴
由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，
∴OP=4，
故P（4，0）．
注：求出AB所在直線解析式后再求其與x軸交點P（4，0）等各種方法只要正確也相應給分．
點評：本題考查了拋物線解析式的運用，三角形的三邊關系問題，需要形數結合，綜合考慮問題．