Question

（2007•烏魯木齊）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（0，6），點B坐標為，BC∥y軸且與x軸交于點C，直線OB與直線AC相交于點P．
（1）求點P的坐標；
（2）若以點O為圓心，OP的長為半徑作⊙O（如圖2），求證：直線AC與⊙O相切于點P；
（3）過點B作BD∥x軸與y軸相交于點D，以點O為圓心，r為半徑作⊙O，使點D在⊙O內，點C在⊙O外；以點B為圓心，R為半徑作⊙B，若⊙O與⊙B相切，試分別求出r，R的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線OB的解析式為y=k₁x，可得，所以直線OB的解析式為y=x；設直線AC的解析式為y=k₂x+6，根據點C（2，0）在直線AC上得，所以直線AC的解析式為y=-x+6，直線AC與直線OB的解析式聯立方程組，解得點P的坐標；
（2）利用三角函數值求得∠BOC=30°，又∠ACO=60°所以∠OPC=90°，故以OP為半徑的⊙O與直線AC相切于點P；
（3）D點坐標為（0，2），C點坐標為（2，0），要使點D在⊙O內，點C在⊙O外，則⊙O的半徑r應滿足，因為⊙O與⊙B相切，故R=4-r或R=4+r，結合2可知4-2或．
解答：（1）解：設直線OB的解析式為y=k₁x，
∵點B（2，2）在直線OB上，
∴，
∴直線OB的解析式為y=x，
設直線AC的解析式為y=k₂x+6，
∵點C（2，0）在直線AC上，
∴，，
∴直線AC的解析式為y=-x+6，
直線AC與直線OB的交點P滿足方程組
，
解得，
∴點P的坐標為；

（2）證明：∵，
∴∠OAC=30°，∠ACO=60°，
又∵，
∴∠BOC=30°又∠ACO=60°，
∴∠OPC=90°，
故以OP為半徑的⊙O與直線AC相切于點P；

（3）解：∵D點坐標為（0，2），C點坐標為（2，0），
要使點D在⊙O內，點C在⊙O外，則⊙O的半徑r應滿足，
∵在Rt△BOC中，∠BOC=30°，BC=2，
∴OB=4，
∵⊙O與⊙B相切，故有R+r=4或R-r=4，
從而有R=4-r或R=4+r，
∵2，
∴4-2或．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．