Question

（1）如圖1，P，Q，R是△ABC三邊上的點，且，求的值．
在中學數學中，由2個數學系統中所含元素的屬性在某些方面相同或相似，推出它們的其他屬性也可能相同或相似的思維形式被稱為類比推理，運用類比推理的模式解決數學問題的方法稱為類比法．類比既是一種邏輯方法，也是一種科學研究的方法，是最重要的數學思想方法之一．
（2）請結合第一小題，完成下面小題的解答．如圖2，E，F，G，H分別在四邊形ABCD的四邊上，且，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據已知條件知AP=AB，BQ=BC，CR=AC，BP=AB，CQ=BC，AR=AC；然后利用三角形的面積公式S=absinC求得△ABC中除去△PQR的三個小三角形的面積與△ABC的面積間的數量關系；最后由S_△PQR=S_△ABC-S_△APR-S_△BPQ-S_△CQR=S_△ABC可以推知的值；
（2）連接BD、AC．解答過程同（1）．
解答：解：（1）∵P，Q，R是△ABC三邊上的點，且，
∴AP=AB，BQ=BC，CR=AC，
∴BP=AB，CQ=BC，AR=AC，
∴S_△APR=AP•ARsinA=×AB•AC•sinA=×AB•ACsinA=S_△ABC；
S_△BPQ=BQ•BPsinB=×BC•AB•sinB=×BC•ABsinB=S_△ABC；
S_△CQR=CR•CQsinC=×AC•BC•sinC=×AC•BCsinC=S_△ABC；
∴S_△PQR=S_△ABC-S_△APR-S_△BPQ-S_△CQR=S_△ABC，
∴=；

（2）連接BD、AC．
∵如圖2，E，F，G，H分別在四邊形ABCD的四邊上，且，
∴AE=AB，AH=AD，CF=BC，CG=CD，
∴S_△AHE=AE•AHsin∠HAE=×AB×ADsin∠HAE=×AB•ADsin∠HAE=S_△ABD，
S_△CFG=CF•CGsin∠DCB=×CD×BCsin∠DCB=×CD•BCsin∠DCB=S_△CDB，
∴S_△AHE+S_△CFG=（S_△ABD+S_△CDB）=S_{四邊形ABCD}；
同理，S_△DGH+S_△BEF=（S_△ADC+S_△ABC）=S_{四邊形ABCD}；
∴S_{四邊形EFGH}=S_{四邊形ABCD}-S_△AHE-S_△CFG-S_△AHE-S_△CFG=S_{四邊形EFGH}，
∴=．
點評：本題考查了面積及等積轉換．解答本題的關鍵是根據已知條件找出組成大圖形中的小三角形的面積與大圖形面積間的數量關系．