Question

（2005•玉林）如圖，⊙O的直徑AB=8，P是上半圓（A、B除外）上任一點，∠APB的平分線交⊙O于C，弦EF過AC、BC的中點M、N，則EF的長是（ ）

A．4
B．2
C．6
D．2

Answer 1

【答案】分析：由于PC平分∠APB，易得=，如果連接OC交EF于D，根據垂徑定理可知：OC必垂直平分EF．
由于M、N是AC、BC的中點，因此MN是△ABC的中位線，根據平行線分線段成比例定理可得：OD=CD=OC=2．連接OE，可在Rt△OED中求出ED的長，即可得出EF的值．
解答：解：∵PC是∠APB的角平分線，
∴弧AC=弧BC；
∴AC=BC；
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
即△ABC是等腰直角三角形．
連接OC，交EF于點D，則OC⊥AB；
∵M、N是AC、BC的中點，∴MN∥AB；
∴OC⊥EF，OD=OC=2．
連接OE，根據勾股定理，得：DE=2，EF=2ED=4．
故選A．
點評：此題綜合運用了圓周角定理及其推論發現等腰直角三角形，再進一步根據等腰三角形的性質以及中位線定理，求得EF的弦心距，最后結合垂徑定理和勾股定理求得弦長．