Question

（2005•玉林）如圖，A、B兩點的坐標分別是（x₁，0）、（x₂，0），其中x₁、x₂是關于x的方程x²+2x+m-3=0的兩根，且x₁＜0＜x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）設點C在y軸的正半軸上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；
（3）在上述條件下，若點D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直線AD的函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用判別式和兩根的積為負數作為不等關系：22-4（m-3）=16-m＞0①，x₁x₂=m-3＜0，解不等式可得m的取值范圍是m＜3；
（2）根據直角三角形的性質可得到AO=3BO，即x₁=-3x₂，和兩根和的關系x₁+x₂=-2，聯立方程組可解得x₁=-3，x₂=1，代入x₁•x₂=m-3，得m=0；
（3）過D作DF⊥軸于F，從（2）可得到A、B兩點坐標為A（-3，O）、B（1，O），可證明△DAB≌△CBA，所以DF=CO=，AF=B0=1，OF=A0-AF=2，點D的坐標為（-2，），利用待定系數法可解直線AD的函數解析式為y=x+3．
解答：解：（1）由題意，得：
2²-4（m-3）=16-m＞0 ①
x₁x₂=m-3＜0         ②
解①得m＜4
解②得m＜3
所以m的取值范圍是m＜3；（3分）

（2）由題意可求得∠OCB=∠CAB=30°，
所以BC=2BO，AB=2BC=4BO，
所以A0=3BO，（4分）
從而得x₁=-3x₂③，
又因為x₁+x₂=-2④，
聯合③、④解得x₁=-3，x₂=1，（5分）
代入x₁•x₂=m-3，得m=O；（6分）

（3）過D作DF⊥軸于F，
從（2）可得到A、B兩點坐標為A（-3，O）、B（1，O）
∴BC=2，AB=4，OC=
∵△DAB≌△CBA
∴DF=CO=，AF=B0=1，OF=A0-AF=2
∴點D的坐標為（-2，）
∴直線AD的函數解析式為y=x+3．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活地運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．