Question

（2013•四會市二模）已知關于x的一元二次方程（k-1）x²-2kx+k+2=0有實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若y關于x的函數y=（k-1）x²-2kx+k+2的圖象過點（-1，k²-4）且與x軸有兩個不同的交點．求出k的值，并請結合函數y=（k-1）x²-2kx+k+2的圖象確定當k≤x≤k+2時y的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意得出△≥0進而得出答案；
（2）根據y=（k-1）x²-2kx+k+2的圖象過點（-1，k²-4）且與x軸有兩個不同的交點，建立關于k的方程，求出k的值；充分利用圖象，直接得出y的最大值和最小值．

解答：解：（1）△=（-2k）²-4（k-1）（k+2）≥0，
解得：k≤2．
k的取值范圍是k≤2；

（2）∵y關于x的函數y=（k-1）x²-2kx+k+2的圖象過點（-1，k²-4），
∴k²-4=（k-1）+2k+k+2，
解得：k₁=-1，k₂=5，
∵圖象與x軸有兩個不同的交點，
∴△＞0，由（1）得：k＜2，
∴k=-1，
如圖：∵k₁=-1，y=-2x²+2x+1=-2（x-

1

2

）²+

3

2

．
且-1≤x≤1．
由圖象知：當x=-1時，y_最小=-3；當x=

1

2

時，y_最大=

3

2

，
∴y的最大值為

3

2

，最小值為-3．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數的最值，充分利用圖象得出最值是解題的關鍵．