Question

【題目】在矩形ABCD中，AC、BD交于點O，點P、E分別是直線BD、BC上的動點，且PE＝PC，過點E作EF∥AC交直線BD于點F

（1）如圖1，當∠COD＝90°時，△BEF的形狀是　 　

（2）如圖2，當點P在線段BO上時，求證：OP＝BF

（3）當∠COD＝60°、CD＝3時，請直接寫出當△PEF成為直角三角形時的面積．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據對角線互相垂直的矩形是正方形判定矩形ABCD是正方形，再由平行線的性質和正方形的性質得∠FEB＝45°，從而得：△BEF是等腰直角三角形；

（2）根據AAS證明△PEF≌△COP，可得結論；

（3）根據∠COD＝60°，得△COD是等邊三角形，則OC＝CD＝3，證明△PFE≌△COP（ASA），得PF＝OC＝3，根據直角三角形30度角的性質計算PE和EF的長，根據三角形的面積公式可得結論．

解：（1）△BEF是等腰直角三角形，理由是：

如圖1，∵∠COD＝90°，

∴AC⊥BD，

∴矩形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，

∵EF∥AC，

∴∠FEB＝∠ACB＝45°，∠F＝∠BOC＝90°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形；

（2）如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，

∴OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝∠FBE，

∵∠FBE＝∠BEP+∠EPB，∠OCB＝∠PCB+∠OCP，

∵PE＝PC，

∴∠BEP＝∠PCB，

∴∠EPB＝∠OCP，

∵EF∥AC，

∴∠COP＝∠BFE，

∴△PEF≌△CPO（AAS），

∴OC＝PF＝OB，

∴OB﹣PB＝PF﹣PB，

即OP＝BF；

（3）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，

∴OD＝OC，

∵∠COD＝60°，

∴△COD是等邊三角形，

∴OC＝CD＝3，

如圖3，當∠PEF＝90°時，

∵EF∥AC，

∴∠POC＝∠OFE＝60°，

∴∠BFE＝120°，

∴OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝∠FEB＝30°，

∵∠FEP＝90°，

∴∠PEC＝60°，

∵PE＝PC，

∴△PEC是等邊三角形，

∴∠PCB＝60°，

∴∠PCO＝60°﹣30°＝30°＝∠FPE，

∴△PFE≌△COP（ASA），

∴PF＝OC＝3，

Rt△PFE中， ，

；

∴當△PEF成為直角三角形時的面積是．