Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，A為x軸正半軸上的動點，經過點A（t，0）作垂直于x軸的直線l，在直線l上取點B，點B在第一象限，AB=4，直線OB：y1=kx（k為常數）．

（1）當t=2時，求k的值；

（2）經過O，A兩點作拋物線y2=ax（x﹣t）（a為常數，a＞0），直線OB與拋物線的另一個交點為C．

①用含a，t的式子表示點C的橫坐標；

②當t≤x≤t+4時，|y1﹣y2|的值隨x的增大而減��；當x≥t+4時，|y1﹣y2|的值隨x的增大而增大，求a與t的關系式并直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k=2；（2）當t≤x≤t+4時，|y1﹣y2|的值隨x的增大而減�。划攛≥t+4時，|y1﹣y2|的值隨x的增大而增大時，a與t的關系式a=（t≥4）．

【解析】分析：（1）找出當t=2時，B點的坐標，將其代入直線OB:y1=kx中即可；
（2）①用t表示出直線OB的關系式，令y1=y2,即可用含a，t的式子表示點C的橫坐標；
②找出的關系式，發現為一個開口向下的拋物線，結合給定條件能夠得知，拋物線的對稱軸不超過，且拋物線與x軸的另一個交點為(t+4,0).由此可得出a與t的關系式并能知道t的取值范圍．

詳解：(1)當t=2時,點A的坐標為(2,0)，

∵經過點A(t,0)作垂直于x軸的直線l，在直線l上取點B，點B在第一象限，AB=4，

∴點B的坐標為(2,4).

∵點B在直線OB:y1=kx(k為常數)上，

∴有4=2k，解得：k=2.

(2)①點B(t,4)在直線OB:y1=kx上，

∴有4=kt,解得：

∴

令y1=y2,即

解得：x=0或者

故點C的橫坐標

②

∵a>0，

∴a<0，函數圖象開口向下，函數圖象大體如下圖：

∵當時,的值隨x的增大而減小;當時, 的值隨x的增大而增大，

∴二次函數的對稱軸在x=t的左側或者重合,而且二次函數與x軸的另一個交點為(t+4,0).

∵

∴有

解得：

二次函數對稱軸 即

∵at=1，

∴

故當時,的值隨x的增大而減小;當時, 的值隨x的增大而增大時,a與t的關系式().