Question

【題目】如圖，AB是的直徑，點E是的中點，CA與相切于點A交BE延長于點C，過點A作于點F，交于點D，交BC于點Q，連接BD．

（1）求證：；

（2）若，求CQ的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據直徑可得∠ADB=90°，由E是弧AB的中點得∠ABE=45°，由相切的性質得∠BAC=90°，可推出△ABD≌△ACF ，即可得到結果．

（2）根據條件可證明△BDQ∽△CFQ，可得到，即可求出結果．

證明：(1) ∵ AB是⊙O的直徑，

∠ADB=90°，

∵點E是弧AB的中點，

∠ABE=45°，

∵CA與⊙O相切于點A，

∠BAC=90°，

AB=AC，

∵AD⊥OC于點F，

∠AFC=∠ADB=90°，

∵∠FAC+∠BAD=90°，∠FAC+∠ACF=90°，

∠BAD=∠ACF.△ABD≌△ACF，

∴BD=AF．

(2) ∵BD=2，

AF=BD=2，

∵AD⊥OC于點F，

AD=2AF=4=CF，

Rt△ABD中，AB=，

Rt△ABC中，BC=，

∵∠AFC=∠ADB=90°，∠FQC=∠DQB，

△BDQ∽△CFQ，

，

CQ=2BQ，

CQ=．