Question

在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，點D從點A開始沿邊AB以2cm/s的速度向點B移動，移動過程中始終保持DE∥BC，DF∥AC．
（1）試寫出四邊形DFCE的面積S（cm²）與時間t（s）之間的函數關系式并寫出自變量t的取值范圍．
（2）試求出當t為何值時四邊形DFCE的面積為20cm²？
（3）四邊形DFCE的面積能為40嗎？如果能，求出D到A的距離；如果不能，請說明理由．
（4）四邊形DFCE的面積S（cm²）有最大值嗎？有最小值嗎？若有，求出它的最值，并求出此時t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可用t分別表示出AD、DE、BD、BF的長，由△ABC、△ADE、△BDF的面積差即可求得S、t的函數關系式．
（2）將S的值代入（1）的函數關系式中，即可求得t的值．
（3）將S=40代入（1）的函數解析式中，如果所得方程有解，根據求得的t值即可確定D到A的距離，若方程無解，則說明四邊形的面積不能成為40．
（4）將（1）的解析式化為頂點坐標式，利用二次函數最值的相關知識進行求解即可．
解答：解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠AED=∠C=∠A，∠BFD=∠C=45°，∠BDF=∠A=45°，∠EDA=∠B=90°，
∴AD=DE=2t，BD=BF=12-2t
①S=×12×12-×2t×2t-（12-2t）²=-4t²+24t（0≤t≤6）．

②當S=20時，-4t²+24t=20，
t²-6t+5=0，
解得t₁=5，t₂=1；
因此當t=1s或5s時，四邊形的面積為20cm²．

③當S=40時，-4t²+24t=40，
t²-6t+10=0，
∵△=36-40＜0，
∴四邊形的面積不能為40．

④四邊形面積有最大值，
S=-4t²+24t=-4（t-3）²+36；
當t=3時，有最大值36，
此時D離A點6cm，D為AB的中點．
點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質、圖形面積的求法以及二次函數最值的應用，難度適中．