Question

如圖，Rt△ABC內接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分線AD與⊙0交于點D，與BC交于點E，延長BD，與AC的延長線交于點F，連結CD，G是CD的中點，連結0G．
小題1:判斷0G與CD的位置關系，寫出你的結論并證明；
小題2:求證：AE=BF；
小題3:若OG·DE=3(2-)，求⊙O的面積．

Answer 1

小題1:OG⊥CD
小題2:見解析。
小題3:6π

本題考查圓的相關內容。如相切等。本題利用等腰三角形的性質證明Rt△ACE≌Rt△BCF然后利用相似和全等求解相關問題。
(1)猜想：OG⊥CD.
證明：如圖，連結OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中點，
∴由等腰三角形的性質，有CG⊥CD. （3分）
(2)證明： ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACE和Rt△BCF中
∠CAE=∠CBF, ∠ACE=∠BCF＝90°，AC=BC.
∴Rt△ACE≌Rt△BCF
∴AE="BF." （7分）
(3)解:過點O作BD的垂線,垂足為H.則H為BD的中點.
∴OH=AD,即AD=2OH.
又∠CAD=∠BAD ,∴CD="BD," ∴OH=OG.
在Rt△BDE和Rt△ADB中,∠DBE=∠DAC=∠BAD,
∴Rt△BDE∽Rt△ADB, ∴BD=AD·DE=2OG·DE=6(2-)
又BD="FD," ∴BF="2BD." ∴BF=4BD=24(2-).……①
設AC=x,則BC=x,AB=x.
∵AD是∠BAC的平分線，∴∠FAD=∠BAD.
在Rt△ABD和Rt△AFD中，∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD.∴AF=AB=x-x=(-1)x
在Rt△BCF中BF=BC+CF=x+[(-1)x] =2(2-)x……②
由①、②解得x=2或-2（舍去）.
∴AB=x=·2=2.
∴S=π·（2）=6π