Question

P、Q二人沿直角梯形ABCD道路晨練，如圖，AD∥BC，∠B=90°，AD=240m，BC=270m，P從點A開始沿AD邊向點D以1m/s的速度行走，Q從點C開始沿CB邊向點B以3m/s的速度跑步．
（1）P、Q二人分別從A、C兩點同時出發多少時間時，四邊形PQCD（P、Q二人所在的位置為P、Q點）是平行四邊形？
（2）添加一個什么條件時，P、Q二人分別從A、C兩點同時出發，在某時刻四邊形PQCD是菱形？說明理由．
（3）P、Q二人分別從A、C兩點同時出發多少時間時，四邊形PQCD是等腰梯形？
（4）若添加AB=50m，P、Q二人分別從A、C兩點同時出發多少時間時，△BPQ為等腰三角形？（第4小題只要求寫出答案即可．）

Answer 1

解：設同時出發t秒后四邊形PQCD為平行四邊形．
（1）當四邊形PQCD為平行四邊形時，有PD=CQ，
即240-t=3t，
t=60．

（2）添加的條件是：DC=180m．
∵四邊形PQCD為菱形，
∴CD=DP=CQ=PQ．
當DP=CQ時，由（1）的計算可知t=60秒，
∴CD=DP=240-t=240-60=180．
故添加條件：CD=180m即可．

（3）當四邊形PQCD為等腰梯形時，作PE⊥BC垂足為E，作DF⊥BC垂足為F．

∵四邊形ABCD為直角梯形，且∠B=90°DF⊥BC，易證ABFD為矩形．
∴BE=AP．
∴CF=BC-BF=BC-AD=270-240=30．
又四邊形PQCD為等腰梯形，PE⊥BC，DF⊥BC，
∴QE=CF=30．
又CQ-QE-CF=EF，
故3t-30-30=240-t，
t=75．


（4）當t=54秒或t=10秒時，△BPQ是等腰三角形．
分析：（1）設同時出發t秒后四邊形PQCD為平行四邊形．根據平行四邊形的對邊相等，列方程求解；
（2）結合菱形的性質和（1）的結論即可求解；
（3）作PE⊥BC垂足為E，作DF⊥BC垂足為F．根據矩形的性質和等腰梯形的性質得到關于t的方程即可計算；
（4）此題應考慮PB=BQ或PB=PQ或PQ=BQ．
當PB=PQ時，作PS⊥BQ于S，根據等腰三角形的三線合一，得270-3t=2t，t=54；
當PB=BQ時，根據勾股定理列方程，得+t²=（270-3t）²，t=192.5（舍去），t=10；
當PQ=BQ時，根據勾股定理列方程，得+（270-4t）²=（270-3t）²，此方程無實數根．
點評：此題考查了平行四邊形的性質以及判定、菱形的性質以及判定、等腰三角形的判定．
熟練運用勾股定理進行計算．