Question

我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”．利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”：
（1）如圖（1），在四邊形ABCD中，BD為其中一條對(duì)角線，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法找出BD的中點(diǎn)O；
（2）如圖（2），在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD的中點(diǎn)為O，連結(jié)OA、OC．顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過點(diǎn)O作OE∥AC交CD于E，則直線AE即為一條“好線”．試說明直線AE是“好線”的理由；
（3）如圖（3），AE為四邊形ABCD一條“好線”，F(xiàn)為AD邊上的一點(diǎn)，請(qǐng)作出經(jīng)過F點(diǎn)的“好線”，并對(duì)畫圖作適當(dāng)說明（不需要說明理由）．

Answer 1

分析：（1）分別以B、D為圓心，以大于

1

2

BD為半徑作圓，兩圓交于E、F，作直線EF交BD于O，則O為BD的中點(diǎn)．
（2）根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出△ACO的面積和△AEC面積相等，推出△AMO的面積=△CME的面積，即可得出答案．
（3）連接EF，過A作EF的平行線交CD于M，作直線FM即可．

解答：解：（1）如圖（1）點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)；
．

（2）
理由是：∵AC∥OE，
∴△AOC的邊AC上的高和△AEC的邊AC上的高相等，
∴S_△AOC=S_△AEC，
∴S_△AOC-S_△AMC=S_△AEC-S_△AMC，
∴S_△AMO=S_△CME，
∵折線AOC是“好線”，
∴S_{四邊形AMCB}+S_△AMO=S_△CME+S_{四邊形DOME}+S_△AOD，
∴S_{四邊形AECB}=S_△AED，
（3）
連接EF，過A作AM∥EF，交CD于M，作直線FM，
則直線FM為“好線”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積，平行線之間的距離的應(yīng)用，注意：等底等高的三角形面積相等．