Question

如圖，長為2，寬為a的矩形紙片（1＜a＜2），剪去一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；
（1）第一次操作后剩下的矩形長為a，寬為

2-a

；
（2）再把第一次操作后剩下的矩形剪去一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去．
①求第二次操作后剩下的矩形的面積；
②若在第3次操作后，剩下的圖形恰好是正方形，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由圖可知，第一次操作后剩下的矩形長為：原矩形的長-原矩形的寬，即為：2-a；
（2）①求出二次操作后剩下的矩形的邊長，利用矩形的面積公式=長×寬即可；
②本小題要根據a的求值范圍不同進行討論，求出滿足題意的a值即可．

解答：解：（1）由圖可知，第一次操作后剩下的矩形長為：原矩形的長-原矩形的寬，即為：2-a
故答案為：2-a；

（2）①因為第二次操作后剩下的矩形的邊長分別為：2-a，2a-2，
∴面積為：（2-a）（2a-2）=-2a²+6a-4，
②當2-a＞2a-2，a＜

4

3

時，2-a=2（2a-2），
 解得：a=

6

5

；
當2-a＜2a-2，a＞

4

3

時，2（2-a）=2a-2，
解得：a=

3

2

；
綜合得a=

6

5

或

3

2

．

點評：本題考查了矩形的性質和正方形的性質以及正方形、矩形的面積公式以及分類討論思想在幾何題目中的運用．