Question

（2005•南通）如圖，在平面直角坐標系中，已知A（-10，0），B（-8，6），O為坐標原點，△OAB沿AB翻折得到△PAB．將四邊形OAPB先向下平移3個單位長度，再向右平移m（m＞0）個單位長度，得到四邊形O₁A₁P₁B₁．設四邊形O₁A₁P₁B₁與四邊形OAPB重疊部分圖形的周長為l．
（1）求A₁、P₁兩點的坐標（用含m的式子表示）；
（2）求周長L與m之間的函數關系式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先應求得點P的坐標．根據點B的坐標，運用勾股定理求得OB的長，發現OB=OA，再結合折疊，即四條邊都相等的四邊形是菱形，根據菱形的性質求得點P的坐標．再根據平移和點的坐標之間的聯系：左減右加，由點A，P的坐標求得點A₁、P₁兩點的坐標；
（2）由于向右移的單位長度不確定，所以此題應分情況考慮．根據勾股定理可以求得當向下平移3個單位長度時，P₁到AP的距離是4，P₁到y軸的距離是14，所以分為當0＜m≤4時和當4＜m＜14時兩種情況，結合平行線分線段成比例定理和平移的性質進行計算．
解答：解：（1）過點B作BQ⊥OA于點Q，（如圖1）
∵點A坐標是（-10，0）
∴點A₁坐標為（-10+m，-3），OA=10
又∵點B坐標是（-8，6）
∴BQ=6，OQ=8
在Rt△OQB中，OB=
∴OA=OB=10，tanα=
由翻折的性質可知，PA=OA=10，PB=OB=10
∴四邊形OAPB是菱形
∴PB∥AO
∴P點坐標為（-18，6）
∴P₁點坐標為（-18+m，3）；

（2）①當0＜m≤4時，（如圖2），過點B₁作B₁Q₁⊥x軸于點Q₁，則B₁Q₁=6-3=3
設O₁B₁交x軸于點F
∵O₁B₁∥BO
∴∠α=∠β
在Rt△FQ₁B₁中，tanβ=
∴
∴Q₁F=4
∴B₁F==5
∵AQ=OA-OQ=10-8=2
∴AF=AQ+QQ₁+Q₁F=2+m+4=6+m
∴周長l=2（B₁F+AF）
=2（5+6+m）
=2m+22；
②當4＜m＜14時，（如圖3）
設P₁A₁交x軸于點S，P₁B₁交OB于點H
由平移性質，得OH=B₁F=5
此時AS=m-4
∴OS=OA-AS
=10-（m-4）=14-m
∴周長L=2（OH+OS）
=2（5+14-m）
=-2m+38．
（說明：其他解法可參照給分）
點評：此題首先能夠正確畫出平移后的圖形，綜合運用勾股定理、平移的性質、平行線分線段成比例定理進行計算．