Question

已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)E在中線BD上，∠DAE=∠ABD．
求證：（1）AD²=DE•DB； 
      （2）∠DEC=∠ACB．

Answer 1

分析：（1）由∠DAE=∠ABD，∠ADE=∠BDA，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，可得△ADE∽△BDA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可證得AD²=DE•DB；
（2）由點(diǎn)E在中線BD上，可得

DC

BD

=

DE

DC

，又由∠CDE=∠BDC，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可得△CDE∽△BDC，繼而證得∠DEC=∠ACB．

解答：證明：（1）∵∠DAE=∠ABD，∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA．（2分）
∴

AD

BD

=

DE

AD

，（2分） 
即AD²=DE•DB．（1分）

（2）∵D是AC邊上的中點(diǎn)，
∴AD=DC．
∵

AD

BD

=

DE

AD

，
∴

DC

BD

=

DE

DC

，（2分）
又∵∠CDE=∠BDC．（1分）
∴△CDE∽△BDC．（2分）
∴∠DEC=∠ACB．（2分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．