Question

如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，AD⊥BC，點P為邊AB 上一個動點，過P點作PF∥AC交線段BD于點F，作PG⊥AB交AD于點E，交線段CD于點G，設BP=x．
（1）①試判斷BG與2BP的大小關系，并說明理由；②用x的代數式表示線段DG的長，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）記△DEF的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求出S的最大值；
（3）以P、E、F為頂點的三角形與△EDG是否可能相似？如果能相似，請求出BP的長，如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①BG=2BP，根據等邊三角形的性質求出∠BGP=30°，根據直角三角形的性質即可得出答案；②求出DG的長，當G和D重合時，求出x=，當G和D重合時求出x=1，即可得到答案；
（2）根據勾股定理求出QP，證△EDQ∽△BPQ得到=，代入即可求出DE，由PF∥AC，得到=，求出DF，根據三角形的面積公式即可求出答案；
（3）求出∠FPE=30°，①當∠FEP=90°時，由EF∥AB，得出=，代入即可求出x；②當∠PFE=90°時，
由△BPF是等邊三角形，求出∠EFD=30°=∠PGD，根據等腰三角形的性質得到DF=DG，代入即可求出x．
解答：（1）解：①BG=2BP，
理由是：∵等邊△ABC，PG⊥AB，
∴∠B=60°，∠BPG=90°，
∴∠BGP=180°-90°-60°=30°，
∴BG=2BP，
答：BG與2BP的大小關系是BG=2BP．

②解：∵等邊△ABC，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=DC=1，
∵BG=2BP=2x，
∴DG=BG-BD=2x-1，
當G和D重合時，2x=1，x=，
當G和D重合時2x=2，x=1，
∴自變量x的取值范圍是≤x≤1，
答：線段DG的長是2x-1，自變量x的取值范圍是≤x≤1．

（2）解：∵AD⊥BC，GP⊥AB，
由勾股定理得：GP==x，
∴∠ADC=∠GPB=90°，
∵∠PGB=∠PGB，
∴△EDG∽△BPG，
∴=，
∴=，
解得：DE=，
∵PF∥AC，
∴=，
∴BP=BF=x，
∴DF=1-x，
∴s=DE•DF=•（）•（1-x）=-x²+x-=-+，
s的最大值是，
答：S與x之間的函數關系式是∴s=-x²+x-，并求出S的最大值是．

（3）解：相似，
∵∠BGP=30°，∠BPF=60°，
∴∠FPE=30°，
①當∠FEP=90°時，
∴EF∥AB，
∴=，
∴=，
解得：x=，
②當∠PFE=90°時，
∵△BPF是等邊三角形，
∴∠BFP=60°，
∴∠EFD=30°=∠PGD，
∴EF=EG，
∵AD⊥BC，
∴DF=DG，
即1-x=2x-1，
解得：x=，
∴BP的長是或，
答：以P、E、F為頂點的三角形與△EDG相似，BP的長是或．
點評：本題主要考查對等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，勾股定理，二次函數的最值等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，題型較好，有一定的難度，用的數學思想是分類討論思想．